知识点总结与练习题 / Knowledge Summary and Exercises
定义 (Definition)：随机变量是将随机实验的结果映射到实数的函数。
数学表示 (Mathematical Notation)：\(X: S \to \mathbb{R}\)，其中S为样本空间。
定义 (Definition)：可能取值是有限个或可列无限个实数的随机变量。
特征 (Characteristics)：取值可以一一列举。
定义 (Definition)：描述离散随机变量在每个可能取值的概率分布。
数学表示 (Mathematical Notation)：\(p(x) = P(X = x)\)
性质 (Properties)：
| 公式名称 | 数学表达式 | 说明 |
|---|---|---|
| PMF定义 | \(p(x) = P(X = x)\) | 随机变量在特定值的概率 |
| 非负性 | \(0 \leq p(x) \leq 1\) | 每个概率值的范围 |
| 规范性 | \(\sum_{所有x} p(x) = 1\) | 所有概率之和为1 |
| 可加性 | \(P(X \in A) = \sum_{x \in A} p(x)\) | 事件概率的计算 |
题目 (Problem)：掷两枚公平的骰子，X表示两枚骰子点数之和。建立X的概率质量函数。
解题步骤：
| X = x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 组合数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p(x) | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 |
验证规范性：\(\sum p(x) = \frac{36}{36} = 1\)
题目 (Problem)：某射手进行射击，每次击中概率为0.7，独立射击3次。X表示击中次数，建立PMF。
这是一个二项分布问题：n=3，p=0.7
概率质量函数：
\[p(x) = \binom{3}{x} (0.7)^x (0.3)^{3-x}, \quad x = 0, 1, 2, 3\]
具体计算：
验证：0.027 + 0.189 + 0.441 + 0.343 = 1.000
判断以下随机变量哪些是离散的，并说明理由：
(1) 某城市一天内的降雨量（毫米）
(2) 掷一枚骰子，X表示出现的点数
(3) 测量某人从家到学校的距离（公里）
(4) 统计某班级中通过考试的学生人数
答题区域：
某公司生产的产品中，不合格品数量X的概率分布如下，建立概率分布表：
P(X=0) = 0.4, P(X=1) = 0.3, P(X=2) = 0.2, P(X=3) = 0.1
答题区域：
某射手进行射击，每次击中概率为0.7，独立射击3次。设X表示击中目标的次数，建立X的概率质量函数。
计算p(0)、p(1)、p(2)、p(3)的值。
答题区域：
某工厂每天生产的灯泡中，不合格品数量服从以下分布：
| 不合格品数量 (x) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 概率 p(x) | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.15 | 0.05 |
(1) 验证该分布是否满足概率质量函数的性质。
(2) 计算 P(X ≤ 2)。
(3) 计算 P(X > 1)。
答题区域：
(1) 降雨量是连续随机变量，因为可以取任意实数值。
(2) 骰子点数是离散随机变量，因为只能取1,2,3,4,5,6这有限个值。
(3) 距离是连续随机变量，因为可以取任意实数值。
(4) 学生人数是离散随机变量，因为是正整数，可以一一列举。
| x | p(x) |
|---|---|
| 0 | 0.4 |
| 1 | 0.3 |
| 2 | 0.2 |
| 3 | 0.1 |
| 总和 | 1.0 |
验证：所有概率都是非负的，且总和等于1。
这是一个二项分布：n=3，p=0.7
\[p(x) = \binom{3}{x} (0.7)^x (0.3)^{3-x}\]
计算结果：
p(0) = \binom{3}{0} (0.7)^0 (0.3)^3 = 0.027
p(1) = \binom{3}{1} (0.7)^1 (0.3)^2 = 0.189
p(2) = \binom{3}{2} (0.7)^2 (0.3)^1 = 0.441
p(3) = \binom{3}{3} (0.7)^3 (0.3)^0 = 0.343
(1) 验证PMF性质：
所有概率 ≥ 0，总和 = 1.0，满足PMF性质。
(2) P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.1 + 0.3 + 0.4 = 0.8
(3) P(X > 1) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.4 + 0.15 + 0.05 = 0.6